某一函数f在区间I上有定义,如果对于任意的ε>0,总有δ>0 ,使得在区间I上的任意两点x'和x",当满足|x'-x"|<δ时,|f(x')-f(x")|<ε恒成立,则该函数在区间I上一致连续。对于在闭区间上的连续函数,其在该区间上必一致连续。一致连续的函数必定是连续函数。
从上述定义中可以看出,当函数在区间I上一致连续时,无论在区间I上的任何部分,只要自变量的两个数值接近到一定程度,总可以使相应的函数值达到预先指定的接近程度。
扩展资料
一直连续性保证的是函数图像更加平滑,而在整个区间上避免了突然出现陡、笔直等尖锐的变化。注意此刻一致连续性的重要性就凸显了,是整个区间的性质,整个区间避免比较突兀的走势变化。
利普希茨条件往往结合导数有界应用, 但是要知道导数无界不一定不一致连续, 例如 x^{1\2} 在 [0,+∞) 的导数虽然无界, 但是仍然是一致连续的. 关于导数有界证明一致连续与无界证明不一致连续。
参考资料来源:百度百科-一致连续
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