周炜良引理证明/Proof of Chow's Lemma

周炜良引理的证明之旅</

在Hartshorne的第二章习题4.10的启发下，以及借鉴自维基百科的Chow's Lemma核心思想，我们将揭示这个经典定理的深邃内涵。周炜良引理（Chow's Lemma）的表述是这样的：

定理 1 (Chow's Lemma)</设X是相对于诺特环概形Y的正则概形，那么存在一个正则概形Z和态射π：Z→X，使得π是满射，且在Z上是射影的，且存在一个稠密开子集U，使得π*在U上诱导了同构。

为了证明这一引理，我们需要一系列关键的预备知识。首先，闭浸入的性质被引理2所揭示：

引理 2</闭浸入是关于目标局部的：一个态射f是闭浸入当且仅当对于Y的开覆盖{V_i}，每个f|_{V_i}都是闭浸入。

接下来，引理3和4为我们构建纤维积图表和分离性情况下的闭浸入提供了基础：

引理 3</在存在纤维积的范畴中，图表是纤维积图表。

引理 4</若态射f和g满足分离性，映射f×_Yg是闭浸入。

继续，我们有引理5和6，关于态射像的封闭性和开浸入性：

引理 5</对于拟紧或既约态射，其概形意义下的像在集合上等于其闭包。

引理 6</若f是局部闭浸入且拟紧或既约，其概形意义的像是开浸入的，可以写成开映射和闭映射的复合。

然后，引理7和8将我们的注意力集中在了特殊情况的处理上：

引理 7 (Reced to Separated)</若X是既约且在Y上分离的概形，那么在稠密开子集U上相同态射的等价性。

引理 8</对于满足条件的态射f，其概形意义的像在开子集上的结构由f的开子概形确定。

现在，我们正式开始周炜良引理的证明过程：

在探索了这些关键步骤后，我们可以得出周炜良引理的完整证明，它展示了正则概形的结构特性，并在正则性、满射和射影性之间建立起深刻的联系。

本文如未解决您的问题请添加抖音号：51dongshi（抖音搜索懂视），直接咨询即可。