计量经济学:一元线性回归最小二乘估计(OLS)及其检验

深入探索计量经济学：一元线性回归的最小二乘估计（OLS）之旅

在经济学建模的四部曲中，理论设计、数据采集、参数估计与检验缺一不可。今天，我们将聚焦于关键环节——参数估计，特别是最常用的方法：最小二乘估计（OLS）。

首先，让我们明确在样本层面的描述：样本回归函数和样本回归模型是我们的核心工具，它们通过样本数据来*近总体的规律。

最小二乘估计：回归线的寻找

最小二乘法的精髓在于，它寻求被解释变量（Y）的观测值与预测值（估计值）之差的平方和的最小化。用数学公式表达，即：

通过求解偏导数，我们得到了一个被称为正规方程组的高级方程系统，它指导我们找到那两个神秘参数。

正规方程组与离差形式的转化

在正规方程组的长篇大论中，引入均值和变异性的概念，我们得以简化复杂的公式。令公式11除以公式10，我们得到的正是OLS估计的关键公式，这个简洁的表达方式我们称之为离差形式：

回归函数的特殊性质也体现在这里，它确保了样本回归线必然通过样本均值点。

统计性质揭示：线性性、无偏性与有效性

最小二乘估计量的统计特性至关重要。首先是线性性，它表明估计量是解释变量的线性函数，证明过程如下：

再者，无偏性是估计量期望值等于总体真值的特性，公式14和假设五的正态分布共同确保了这一特性。

有效性则意味着，OLS估计的方差是最小的，尽管证明过程较为复杂，它依赖于假设四的同方差性和序列不相关性，以及公式18和19。

至此，我们已经概述了一元线性回归最小二乘估计的基本框架，以及其背后的统计原理。在实际应用中，理解这些概念至关重要，它们为我们提供了构建和检验经济模型的强大工具。

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