求高数过程答案

郭敦荣回答：
1，f（x）=px²+qx+r，f′（x）=2px+q
按拉格朗日中值定理，如果函数f(x)在(a，b)上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈(a,b)，使得
f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)
于是，f′（x）=2px+q= f′（ξ）=2pξ+q
（2pξ+q）（b－a）=pb²+qb+ r－pa²－qa－r
2p（b－a）ξ=pb²－qa²，
ξ=（pb²－qa²）/[2p（b－a）]
2，函数f（x）=（x－2）（x－3）（x－4）（x－5）为4次幂函数，其导数是降一阶的导函数，故为3次，所以，f′（x）=0有3个实根，在区间（2，5）范围内。

1
f(x)=px²+qx+r
f(a)=pa²+qa+r
f(b)=pb²+qb+r
[f(b)-f(a)/(b-a)=p(a+b)+q)
f'(x)=2px+q
令f'(x)=[f(b)-f(a)/(b-a)hg
2px+q=p(a+b)+q
x=(a+b)/2
ξ=(a+b)/2∈(b,a)
定理成立
2
f'(x)最高次为3
f'(x)=0最多有3个实根
令f(x)=0
x1=2 x2=3 x3=4 x5=5
f(2)=0 f(3)=0 f(4)=0 f(5)=0
根据罗尔中值定理
f'(x)在(2,3) (3,4) (4,5)各有一点使f'(x)=0

楼上的解法，不正确

1,f(x)在区[a,b]上连续，在(a,b）可导，并且其导函数，f'(x)=2px+q
验证完毕
则f(b)-f(a)=f'(kse)(b-a)
即pb^2+qb+r-(pa^2+qa+r)=[2p(kse)+q](b-a)
[p(b+a)+q](b-a)=[2p(kse)+q](b-a)
显然，b>a
即:p(b+a)+q=2p(kse)+q
即:p(b+a)=2p(kse)
若P=0，kse为敬意上一任意点
f(x)一直线，此时，任时一点的斜率都相等的
若p不等于0
则kse=(b+a)/2,此时,为抛物线的区间的中点
2,
f'(x)=0有三个根,区间分别有(2,3),(3,4)(4,5)
下面仅对(2,3) 区间上作出说明，其余类同
依题意知
f（x）在实数R上，连续可导
f（x）在实数[2,3]上连续,(2,3)可导
并且f(2)=f(3)=0
利用拉格朗日中值定理知，f(3)-f(2)=f'(kse)(3-2)
f'(kse1)=0,即得证

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