五色定理的证明

设图G=（V，E），其中V={v，v1，v2……}，且G为简单无向平面图。 这里图G有n个顶点,且n>3。那么由欧拉定理的推论可知，平面图G中至少有一个顶点其度数不超过5。不妨假设这一顶点就是v0。 我们用数学归纳法 当n=4,5时定理显然成立。 当deg(v0)=3,4时定理显然成立。 当deg(v0)=5时，如图所示，根据Jordan曲线定理不难知道v1和v3，与v2和v5不可能同时邻接，否则将会破坏图的平面性。不妨假设v1和v3不邻接。我们将v1 ，v0，v3这三点沿着边（v1 ，v0），（v0，v3）进行收缩。得到另一个图G’, 由于这一收缩是连续性变化，因而不会改变图的平面性，即图G’仍是平面图（如图2所示）。 很明显图G’的顶点个数少于n,于是根据上述归纳可知G’可以用五种颜色：c1,c2,c3,c4,c5进行着色。我们不凡假设v2用c2,v5用c5, v4用c4,那个收缩后的点用c1…… 那么我们可以对图G 进行这样的着色，除了v0，v1，v3这些顶点以外其余顶点的着色方案和图G’完全相同。对于v1,v3我们用c1 即可，这样一来在图G中v1,v3用c1，而v2用c2, v4用c4，v5用c5，那么剩下的c3便图在顶点v0上，于是图G可用五种颜色进行着色。根据归纳原理可知对于所有平面图五色定理都是成立的

五色定理概念：
五色定理是图论中的一个结论：将一个平面分成若干区域，给这些区域染色，且保证任意相邻区域没有相同颜色，那么所需颜色不超过五种。五色定理是比四色定理弱的定理，但是比四色定理更容易证明。1879年，阿尔弗雷德·布雷·肯普给出了四色定理的一个证明，当时为人所接受，但11年后，珀西·约翰·希伍德却发现了肯普的证明中存在错误，他把肯普的证明加以修改，得到了五色定理。
证明：
设图G=（V，E），其中V={v，v1，v2……}，且G为简单无向平面图。
这里图G有n个顶点,且n>3。
那么由欧拉定理的推论可知，平面图G中至少有一个顶点其度数不超过5。
不妨假设这一顶点就是v0。
我们用数学归纳法
当n=4,5时定理显然成立。
当deg(v0)=3,4时定理显然成立。
当deg(v0)=5时，如图所示，根据Jordan曲线定理不难知道v1和v3，与v2和v5不可能同时邻接，否则将会破坏图的平面性。不妨假设v1和v3不邻接。我们将v1 ，v0，v3这三点沿着边（v1 ，v0），（v0，v3）进行收缩。得到另一个图G’, 由于这一收缩是连续性变化，因而不会改变图的平面性，即图G’仍是平面图（如图2所示）。
很明显图G’的顶点个数少于n,于是根据上述归纳可知G’可以用五种颜色：c1,c2,c3,
c4,c5进行着色。我们不凡假设v2用c2,v5用c5, v4用c4,那个收缩后的点用c1……
那么我们可以对图G 进行这样的着色，除了v0，v1，v3这些顶点以外其余顶点的着色方案和图G’完全相同。对于v1,v3我们用c1 即可，这样一来在图G中v1,v3用c1，而v2用c2,
v4用c4，v5用c5，那么剩下的c3便图在顶点v0上，于是图G可用五种颜色进行着色。
根据归纳原理可知对于所有平面图五色定理都是成立的。

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