√1+√2+√3+……+√n≈

由于粗心，仔细检查仍有错，将f(x)在x=0时各阶导数认为零是错的，将积分限改为从1到n,避免了这个错误，现再次修改，错误可能还有，但方法是正确的，给出了详尽的推导过程，帮助理解，并发现了楼主给的公式，下面给出几个近似公式,一个比一个更精确：

√1+√2+……+√n≈(3/2)*n^(3/2)+(1/2)*n^(1/2)

√1+√2+……+√n≈(3/2)*n^(3/2)+(1/2)*n^(1/2)-(1/6)

√1+√2+……+√n≈(3/2)*n^(3/2)+(1/2)*n^(1/2)+(1/24)*n^(-1/2)

√1+√2+……+√n≈(3/2)*n^(3/2)+(1/2)*n^(1/2)+(1/24)*n^(-1/2)-(5/24)

√1+√2+……+√n≈

(3/2)*n^(3/2)+(1/2)*n^(1/2)+(1/24)*n^(-1/2)-(1/1920)*n^(-5/2)-（399/1920）

√1+√2+……+√n≈

(3/2)*n^(3/2)+(1/2)*n^(1/2)+(1/24)*n^(-1/2)-(1/1920)*n^(-5/2)+(1/9216)*n^(-9/2)

-（9581/46080）

详细导到过程,看所发的图片，由于一张图片发不下，如果有兴趣，我单独发给你.

2n√(n+1)／3＜√1＋√2＋√3＋……＋√n＜2（n+1)√n／3
但是当n=100000（10万）时误差达到21082061.89-21081956.48= 105.413219

求证2√[n(n+1)]／3＜(√1＋√2＋√3＋……＋√n)/√n＜2（n+1)／3

检举证明：先证明一个引理，若数列F(n),G(n)满足F(n+1)-F(n)＞G(n+1)-G(n),且F（1）＞G(1),则对任意n均有F(n)＞G(n)成立，直接求和即可知此性质的证明是显然的，现利用此引理来证明不等式成立。
设：F(n)=√1＋√2＋√3＋……＋√n,G(n)=[2n√(n+1)]／3,则F(n+1)-F(n)=√(n+1),G(n+1)-G(n)=2/3*√(n+1)[√(n+1)(n+2)-n]，由于n^2+3n+9/4＞n^2+3n+2,所以3/2+n＞√(n+1)(n+2),即2/3*[√(n+1)(n+2)-n]＜1，即2/3*√(n+1)[√(n+1)(n+2)-n]＜√(n+1)，于是：F(n+1)-F(n)＞G(n+1)-G(n),又F(1)=1,G(1)=2√2/3＜1=F(1),于是由引理得2√[n(n+1)]／3＜(√1＋√2＋√3＋……＋√n)/√n成立，不等式的前半部分得证；
为证后半部分设H(n)=[2(n+1)√n]/3,H(n+1)-H(n)=2/3*√(n+1)[(n+2)-√(n+1)n],由于n^2+n+1/4＞n^2+n,所以n+1/2＞√n(n+1),即(n+2)-√n(n+1)＞3/2,于是2/3*√(n+1)[(n+2)-√(n+1)n]＞√(n+1),即H(n+1)-H(n)＞F(n+1)-F(n)，又H(1)=4/3＞1=F(1),于是由引理不等式后半部分得证。

参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/89736136.html

S=√1+√2+√3+……+√n
S'=2√n³/3+√n/2-1/6
S'≈S

这个近似公式很好的，误差很小，
当n=100000时，△S=S'-S=0.041，
即使n=100000000时，△S=S'-S=-0.112

2/3* n^1.5+0.5* n^0.5+1/24* n^(-0.5)-5/24
误差约小2个数量级
还有楼主似乎算错了，你的这个算法的误差有上界，即误差不超过1/24
你也可以用这个式子计算：2/3* n^1.5+0.5* n^0.5-5/24
一开始误差较大，但会随n增大而减小

楼主试试 2/3（n+1）^3/2-1/2(n+1)^1/2 这个的误差是有界的 但是我没算界是多少。

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