...0)及B(-2,0)两点. (1)求二次函数的表达式及抛物线顶...

解：（1）∵二次函数y=ax2+bx-2的图象经过点A（1，0）及B（-2，0）两点．
∴设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x+2），将C（0，-2）坐标代入，-2=a（0-1）（0+2），
解得：a=1，
故y=x2+x-2=（x+1 2 )^2-9 4 ；则其顶点M的坐标是（-1 2 ，-9 4 ）．
（2）设线段BM所在直线的解析式为y=kx+b，
∴ 0=-2k+b -9 4 =-1 2 k+b ．
解得： k=-3 2 b=-3 ，
∴线段BM所在的直线的解析式为y=-3 2 x-3．
∵-t=-3 2 x-3，∴x=2 3 t-2，点N的坐标为N（2 3 t-2，-t），
∴S=S△AOC+S梯形OCNQ=1 2 ×1×2+1 2 （2+t）•|2 3 t-2|=-1 3 t2+1 3 t+3．
∴S与t间的函数关系式为S=-1 3 t2+1 3 t+3=-1 3 （t2-t）+3=-1 3 （t-1 2 ）2+37 12 ，
故t=1 2 时，S的最大值为37 12 ．
（3）存在符合条件的点P，
设点P的坐标为P(-1 2 ，m)，如图，连接PA、PC，作CE⊥MP于E．
则AC2=12+22=5；PA2=(-1 2 -1)2+m2；PC2=(1 2 )2+(m+2)2．
分以下几种情况讨论：
①若∠APC=90°，则PC2+PA2=AC2，
即(-1 2 -1)2+m2+(1 2 )2+(m+2)2=5，
解得：m1=-1 2 ，m2=-3 2 ，
②若∠ACP=90°，则PC2+AC2=PA2，
即(1 2 )2+(m+2)2+5=(-1 2 -1)2+m2，
解得：m=-7 4 ．
③若∠PAC=90°，则AC2+PA2=PC2，(-1 2 -1)2+m2+5=(1 2 )2+(m+2)2，
解得：m=3 4 ．
综上所述，存在满足条件的点P，其坐标分别是：P1(-1 2 ，-1 2 )，P2(-1 2 ，-3 2 )，P3(-1 2 ，-7 4 )，P4(-1 2 ，3 4 )．

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