样条曲线曲面-3:BSpline的原理

探索曲线之美：BSpline曲线的原理与构造

Bezier曲线的魅力与挑战并存，控制点与阶数之间的紧密关系（p=n+1）有时会带来龙格现象的困扰。而BSpline曲线则以其独特的分段光滑特性，为我们提供了一个更灵活的曲线构建方式。它要求每个区间内都是光滑的多项式，并且在区间交接处至少保持C2连续性。

分段连续性与节点定义

BSpline曲线的一大特点在于其分段连续性，参数域由节点巧妙地定义。每个<p阶基函数横跨<p+1个区间，确保了节点数、控制点数和阶数的完美协调。例如，二阶BSpline的起点P0和末点Pn与控制点重合，这赋予了它独特性质：起始参数重复度为3，使得基函数在某些点表现出类周期性，确保了分段多项式的连续性。

周期性与连续性深入解析

3.1 基函数的类周期性：每个<p阶BSpline在参数域上具备<p阶的周期性，同时保持了n阶连续性，使得曲线过渡自然。

3.2 单个基函数的连续性：在区间间的连接处，基函数确保了1阶连续，为平滑过渡提供了坚实的基础。

3.3 无缝衔接：基函数之间的连续性更为精细，它们在连接点处的导数为零，实现了无缝的过渡。

等价与转换

当我们谈到分段光滑多项式，它与BSpline的等价性不容忽视。通过设置首尾重复度为4的节点，我们能够构造出具有同样效果的曲线模型，展现其强大灵活性。

NURBS曲线的真谛

NURBSCurve，即非均匀有理样条曲线，本质上是四维BSpline在三维空间的投影。在四维空间中，点（如XYZw）通过w=1的超平面投影到三维，控制点（如XYZw*）在四维中表现为权重。这种转换通过公式（5.1）清晰地表达，将NURBSCurve简化为三维空间中BSpline的直观表现。

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