椭圆积分是怎么定义的?

　　在积分学中，椭圆积分最初出现于椭圆的弧长有关的问题中。Guilio Fagnano和欧拉是最早的研究者。现代数学将椭圆积分定义为：可以表达为如下形式的任何函数f的积分---其中R是其两个参数的有理函数，P是一个无重根的3或4阶多项式的平方根，而c是一个常数。通常，椭圆积分不能用基本函数表达。这个一般规则的例外出现在P有重根的时候，或者是R(x,y)没有y的奇数幂时。但是，通过适当的简化公式，每个椭圆积分可以变为只涉及有理函数和三个经典形式的积分。（也即，第一，第二，和第三类的椭圆积分）。

　　不完全类

　　第一类

　　第一类不完全椭圆积分F定义为与此等价，用雅可比的形式，可以设 ；则

　　其中，假定任何有竖直条出现的地方，紧跟竖直条的变量是（如上定义的）参数；而且，当反斜杠出现的时候，跟着出现的是模角。 在这个意义下，，这里的记法来自标准参考书Abramowitz and Stegun。使用限界符；| \是椭圆积分中的传统做法。

　　但是，还有许多不同的常规用于椭圆积分的记法。取值为椭圆积分的函数没有（象平方根，正弦和误差函数那样的）标准和唯一的名字。甚至关于该领域的文献也常常采用不同的记法。Gradstein, Ryzhik[1], Eq.(8.111)]采用。该记法和这里的；以及下面的等价。

　　和上面的不同对应的是，如果从Mathematica语言翻译代码到Maple语言，必须将EllipticK函数的参数用它的平方根代替。反过来，如果从Maple翻到Mathematica，则参数应该用它的平方代替。Maple中的EllipticK(x)几乎和Mathematica中的EllipticK[x^2]相等；至少当0<x<1时是相等的。

　　注意

　　F（x;k）=u

　　其中u如上文所定义：由此可见，雅可比椭圆函数是椭圆积分的逆。

　　加法公式

　　此公式成立是有条件的。参见《第一、二类椭圆积分加法公式的成立条件》

　　性质

　　第一类不完全椭圆积分的导数

　　第二类

　　第二类不完全椭圆积分E是

　　与此等价，采用另外一个记法（作变量替换

　　），

　　其它关系包括

　　第三类

　　第三类不完全椭圆积分是

　　或者

　　或者

　　数字n称为特征数，可以取任意值，和其它参数独立。但是要注意对于任意是无穷的。

　　完全类编辑

　　第一类

　　如果幅度为pi/2或者x=1，则称椭圆积分为完全的。第一类完全椭圆积分K可以定位为

　　或者

　　它是第一类不完全椭圆积分的特例：

　　这个特例可以表达为幂级数

　　它等价于

　　其中n!!表示双阶乘。采用高斯的超几何函数，第一类完全椭圆积分可以表达为

　　第一类完全椭圆积分有时称为四分周期。它可以采用算术几何平均值计算。

　　特殊值

　　第一类完全椭圆积分的导数}-

　　第二类

　　第二类完全椭圆积分E可以定义为

　　或者

　　它是第二类不完全椭圆积分的特殊情况：

　　它可以用幂级数表达

　　也就是

　　用高斯超几何函数表示的话，第二类完全椭圆积分可以写作

　　特殊值

　　第二类完全椭圆积分的导数

　　第三类

　　第三轮完全椭圆积分II可以定义为

　　注意有时第三类椭圆积分被定义为带相反符号的n，也即

　　第三类完全椭圆积分和第一类椭圆积分之间的关系

　　第三类完全椭圆积分的导数

　　特殊值

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