将正整数2012表示成n个正整数x1,x2,x3,…xn之和.记S=1≤i<j≤nxi?xj...

（Ⅰ）根据 x1+x2=2012，利用均值不等式，可得当x1=x2=1006时，S有最大值10062．--------（2分）
（Ⅱ）当x1=x2=x3=402，x4=x5=403时，S取得最大值．------（4分）
由x1+x2+x3+x4+x5=2012，利用基本不等式可得当这5个数相等时，S取得最大值．再由这5个数都是正整数，
可得S取得最大值时，必有|xi-xj|≤1（ 1≤i＜j≤5）．-----（8分）
因此当x1=x2=x3=402，x4=x5=403时，S取得最大值．
（Ⅲ）由x1+x2+x3+x4+x5=2012且|xi-xj|≤2，只有①x1=401，x2=402，x3=x4=x5=403；
②x1=x2=x3=402，x4=x5=403； ③x1=x2=x3=x4=402，x5=404；三种情况．--------（11分）
而在②时，根据（2）知原式取得最大值；
在①时，设t=402，S＝1≤i＜j≤5xi?xj=10t2+8t，
在③时，设t=402，S＝1≤i＜j≤5xi?xj=10t2+8t．
因此在①③时S取得最小值．--------（13分）

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