高中数学题 四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,其中AB=3，PA=4，若在线段PD上存在点E使得BE⊥CE，求线段AD的

解:

1.建坐标系与图形,如图.

   设A为原点,AD长度为a,E坐标为(0，ey，ez).

    B(3,0,0),C(3,a,0),D(0,a,0)

  求得直线PD方程为:Z=-(4y/a)+4.

   得E坐标为（0,ey,-(4ey/a)+4）

  因为BE⊥CE,所以 

  向量EB  点乘 向量EC = 0

   ((3,0,0)-(0,ey,-(4ey/a)+4))点乘((3,a,0)-(0,ey,-(4ey/a)+4))=0

    (3,-ey,(4ey/a)-4)点乘(3,a-ey,(4ey/a)-4)=0

    得

  [(16/a²)+1]ey²-[a+(32/a)]ey+25=0

    使上式中ey有解，必须

  [a+(32/a)]²-4*[(16/a²)+1]*25≥0

    得

  (a²-18)≥30²

  a²≥48 

    得

  a≥4√3

2.由线段PD上有且只有一个点E使得BE⊥CE

   得

   a=4√3

    由

  [(16/a²)+1]ey²-[a+(32/a)]ey+25=0

    得

  ey=(5/2) √3

    得所有点坐标：

   A(0,0,0),B(3,0,0),C(3,4√3,0),D(0,4√3,0),E(0,(5/2) √3,3/2).

     在线段PA上取一点F，连接FE,使FE平行于AD

    则可以算出F(0,0,3/2)

    又AD平行于BC

    得FE平行于BC

     F在EBC平面中

   又AB⊥PA

   所以二面角E-BC-A的正切值=tan(∠FBA)=FA/AB=1.5/3=0.5

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