为什么排序的复杂度为 O(N log N) | Linux 中国

证明了基于比较的排序算法在最差情况下，其复杂度为 O(N log N)。这可以通过分析比较次数和排列数量来理解。对于四个不同元素，需要至少三次比较来确定它们的顺序。对于 N 个元素，需要至少 log2(N!) 比较次数，这在理论上给出了 O(N log N) 的上限。

从信息论的角度看，排序算法可以被视作数据编码。排序算法的平均比较次数等于输入数据的香农熵，以比特为单位。对于 N 个无偏随机元素的数组，熵最大，为 log2(N!) 比特。因此，基于比较的排序算法在平均情况下，复杂度也是 O(N log N)。

通过图形比较理论值与实际算法（如快速排序和合并插入排序）的表现，可以观察到合并插入排序接近最优状态。理论上，基于比较的算法在最差情况下不能优于 O(N log N)，但实际应用中可能存在特殊情况，如数组中存在部分有序子序列时，排序效率接近 O(N)。

一般排序算法的理论下限是 O(N log N)，这意味着任何物理实现的计算机在给定时间内执行有限指令时，排序算法的执行时间至少为 O(N log N)。在实践中，更快的算法可能通过特定条件或限制来实现，但通常不是通用排序算法，例如基数排序在特定条件下可以实现更快的 O(kN) 复杂度，但需要输入数据满足特定条件。

基数排序算法被广泛认为是 O(N) 算法，但其复杂度实际上是 O(kN)，其中 k 是输入数字的最大位数。随着数组长度的增长，所需的二进制位数增加，这限制了基数排序在处理大量不同数字时的性能。

总的来说，基于比较的排序算法在理论上和实践中都有其局限性，O(N log N) 复杂度反映了这类算法的最优性能。对于大多数应用而言，这一理论已经足够描述排序算法的性能，但在特定条件下，存在一些算法能够提供更快的排序速度，但通常会通过特定限制或条件来实现。

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