怎样的整数a,b,c满足不等式a^2+b^2+c^2+3<ab+3b+2c

答案是 a=1, b=2, c=1，这是一道考察配平方的题，需要注意到平方数非负这一特征。

将右边的ab+3b+2c移动左边，配平方，同时加一，得到：
(a-b/2)^2+3 (b/2-1)^2+(c-1)^2 < 1
左右同时乘以4得到
(2a-b)^2 + 3(b-2)^2 + 4(c-1)^2 < 4
因为a,b,c为整数，所以 2a-b, b-2, c-1均为整数
由于平方非负，所以：
c-1 = 0
b-2 = 0 且 2a-b = 0 或者 1
或者
b-2 = 1 且 2a-b = 0
所以：
a=1, b=2, c=1 或者
a=1.5, b=2, c=1
a=1.5, b=3, c=1
因为a为整数，所以只有a=1, b=2, c=1满足条件

a^2-ab+(1/4)b^2+(3/4)b^2-3b+3+c^2-2c+1<1
[a^2-ab+(1/4)b^2]+3*[(1/4)b^2-b+1]+[c^2-2c+1]<1
则
[a-(1/2)b]^2+3*[(1/2)b-1]^2+(c-1)^2<1
因为abc都是整数 (c-1)^2<1 所以 c=1
又因为 [a-(1/2)b]^2<1 所以 (2a-b)^2<4 所以: 2a-b=0 或 2a-b=1或-1
再由 3*[(1/2)b-1]^2<1 所以 (b-2)^2<4/3 所以: b-2=0 或 b-2=1或-1
由上面得出：
a=0 b=1 c=1
a=1 b=1 c=1
a=1 b=2 c=1
a=1 b=3 c=1
a=2 b=3 c=1
再次 带入原式a^2+b^2+c^2+3<ab+3b+2c检验：
得出结果：
a=1 b=2 c=1

a^2+b^2+c^2+3<ab+3b+2c
则 a^2+b^2+c^2+3-ab-3b-2c<0
2a^2+2b^2+2c^2+6-2ab-2b-4c<0
2c^2+5-4c<0
(a-b)^2+a^2+(b-1)^2+2(c-1)^2+3<0
【无解】

本文如未解决您的问题请添加抖音号：51dongshi（抖音搜索懂视），直接咨询即可。