什么是伪素数

伪素数之谜
享有"业余数学之王"称号的费马曾经证明:若p为素数,则ap-a是p的倍数,进一步如果p与a互素,则显然ap-1-1是p的倍数,用同余式来表达就是:
ap-1=1 mod p
这个表达式无疑是数论大厦的一块基石.对如此美妙的定理如果毫不动心,那他一定是只剩下一口气的行尸走肉.推导这个公式用同余式最方便,由于与素数p互素的数有p-1个,它们是:
1,2,3,...p-1
显然有: a*2a*3a...a(p-1)=1*2*3...(p-1) mod p
即: ap-1*(p-1)!=(p-1)! mod p
两边同除以(p-1)!得到:
ap-1=1 mod p
再对a应用数学归纳法即可证明之.
但是它的逆定理是不成立的,即当ap-1-1能被p整除时,p不一定是素数,在1819年,法国数学家莎路斯首先发现,虽然341能够整除2340-1,但是341=11*31为一个合数.后来有一位德国数学家一般性地证明了,只要找到两个奇素数p,q,使得它们的积能同时整除2p-1-1,与2q-1-1,就能保证pq整除2pq-1-1.
伪素数有无穷多个,第一个证明这一点的是数学家迈罗在1903年给出的.如果n是伪素数,则2n-1也是伪素数,所以伪素数有无穷多个.除了上述的341之外,人们陆续发现了561,645,1105,1387,1729,1905等等.数学家普列特在1938年做出了1亿以内的伪素数表.因此伪素数又叫做普列特数.
除了奇伪素数以外,竟然还有偶伪素数存在,美国著名数学家D.H.莱默在1950年找到了第一个偶伪素数:161038,后来荷兰数学家毕格尔又发现了3个偶伪素数:215326,2568226和143742226,并且从理论上证明了存在无穷多个偶伪素数.
伪素数是针对底数为2的情形提出的.而对于一般的底数a,则提出了a-伪素数的概念,例如91能整除390-1,所以把91称为3-伪素数.1904年,意大利数学家奇波拉给出了一种构造a-伪素数的方法:
对于已知的整数 a>=2,取任意奇素数 p,使得 p不能整除a(a2-1),则 n=(a2p-1)/(a2-1)必是a-伪素数.比如取 a=2,选 p=5,显然 5不能整除2(22-1)=6,所以(210-1)/(22-1)=341 是伪素数.
对于已知的整数 a>=2,由于有无穷多个奇素数不能整除a(a2-1),所以a-伪素数有无穷多个.
利用伪素数表,数学家D.H.莱默建议按照如下程序来判别一个奇数是否是素数:如果p不能整除2p-1-1,则p必然为合数;如果p能整除2p-1-1,且p在伪素数表中,则p为合数,否则p为素数.显然这是基于费马小定理的检验法,我想如果再结合筛法,就会完全剔除这些伪素数.
毕竟伪素数比较稀少,在前10亿个自然数*有50847534个素数,而伪素数只有5597个,即大约只占万分之一.而同时能以2,3为底的伪素数只有1272个,即大约5万分之一.那么是否存在这样的数p,它能够整除所有的以2,3,4,...为底的费马表达式,那么p一定是素数了吧?遗憾的是,竟然存在这样的伪素数,它能够整除以任何整数a为底(即使是负整数)的ap-1-1,561就是最小的一个例子:
a560-1=(a2)280-1=(a2-1)(...)=(a10-1)(...)=(a16-1)(...)
由于561=3*11*17,而由费马小定理,3,11,17都能够整除上式,所以561也能够整除上式.这种极端的伪素数叫做绝对伪素数,又由于是首先由美国数学家卡迈克尔在1912年发现的,所以又叫做卡迈克尔数,为了判别什么样的整数是卡迈克尔数,他发现了一个准则:
如果整数n满足如下条件
(1) n没有平方因子,即n没有相同的素因子;
(2) n是奇数且至少有3个不同的素数因子;
(3) 对于n的每一个素数因子p,p-1能够整除n-1;
则 n 必为卡迈克尔数.反之,如果 n是卡迈克尔数,则 n必满足上述3个条件.
1939年,数学家切尼克给出了一种构造卡迈克尔数的方法:
设m为自然数,且使得(6m+1),(12m+1),(18m+1)都是素数,则M3(m)=(6m+1)(12m+1)(18m+1)是具有3个素因子的卡迈克尔数.例如取m=1,则有M3(1)=7*13*19=1729是卡迈克尔数.类似地,自然数m是使得
Mk(m)=(6m+1)(12m+1)(9*2m+1)...(9*2k-2m+1) (k>=4)
中k个因子都是素数,则Mk(m)是含有k个素因子的卡迈克尔数.1985年,杜伯纳得到了下面一些巨大的卡迈克尔数: m=5*7*11*13*...*397*882603*10185 时的含有3个素因子的卡迈克尔数M3(m)是一个1057位数,这是目前知道的最大的卡迈克尔数.其他的还有
m=323323*655899*1040/6 时的M4(m)是个207位数的卡迈克尔数.
m=323323*426135*1016/6 时的M5(m)是个139位数的卡迈克尔数.
m=323323*239556*107/6 时的M6(m)是个112位数的卡迈克尔数.
m=323323*160*8033 时的M7(m)是个93位数的卡迈克尔数.
1978年,约里纳戈发现了8个卡迈克尔数,它们都具有13个素数因子.这是目前所知道的含有素数因子最多的一组卡迈克尔数.下表是目前所知道的小于x的以2为底的伪素数个数P(x)与卡迈克尔数的个数C(x)的分布情况.
x P(x) C(x)
1000 8 1
10000 22 7
100000 78 16
1000000 245 43
10000000 750 105
100000000 2057 255
1000000000 5597 646
10000000000 14887 1547

不超过100000的16个卡迈克尔数如下:
561,1105,1729,2465,2821,6601,8911,10585,15841,29341,41041,46657,52633,62745,63973,75361
留给人们的未解之谜是;
(1) 同时以a,b为底的伪素数是否有无穷多个?
(2) 卡迈克尔数是否有无穷多个?

强伪素数

令N=q1q2q3,q1＜q2＜q3是三因子的Carmicheal数,定义C3,1-及C3,2-数,它们分别指qi=5 mod 8,i=1,2,3及qi≡5 mod 8,i=1,2,q3≡9 mod 16时的情况,它们有着较高的成为强伪素数的概率.本文首先给出成为这些数的充分必要条件然后给出算法,最后经过上机计算得到1024以内的有58个对于前5个素数基的C3,1-强伪素数,其中有一个是对于前8个素数基的强伪素数;以及27个对前4个素数基的C3,2-强伪素数,只有一个是对于前4个基的强伪素数.

名称解释
若n能整除2^(n-1)-1,并n是非偶数的合数，那么n就是伪素数。

伪素数的例子
2^(5-1)-1=15,15|5. 2^(3-1)-1=3,3|3.但很多都是素数，如3，5，7，29，31……
1919年数学家萨鲁斯找到了反例：2^(341-1)-1|341,而341=11*31是合数，341就成了第一个伪素数。以后又发现了许多伪素数：561 645 1105 1387 1729……

素数的起源与研究
能整除an一a的合数n，a≥2，（a，n）＝1，被称为以a为底的伪素数，简记为a-伪素数。
伪素数起源于17世纪法国数学家费马的某些研究。他于17世纪30年代末曾写信给法国数学家梅森，提到这样一个命题：2p一2能被素数p整除。后来，在他1640年10月18日给德贝西的信中说，他进一步证明了这样一个定理：
如果p是一个素数，且a不能被p整除，则ap-1－1能被P整除（等价的说法是ap－a能被素数p整除）。
后人称这个定理为费马小定理，以和费马大定理相区别。费马小定理奠定了现代数论中素数判定的基础。
按费马小定理，如果一个奇数n不能整除2n－2，则n必为合数（这是费马小定理的一个逆否命题）。但是，如果奇数n＞1能整除2n－2， n就一定是素数吗？就是说，费马小定理的逆命题是否成立？对于1＜n＜300的数来说，计算可知，能整除2n－2的奇数n都是素数，这使得人们在很长的时间内认为费马小定理的逆命题当然成立。德国数学家莱布尼茨曾在1680年6月和1681年12月两次宣布他证明了这样一个命题：如果n不是素数，则2n－2不能被n整除（这是下述命题的逆否命题：如果2n－2能被n整除，则n是素数），但没发表他的证明。1742年4月，德国数学家哥德*在给欧拉的信中表示要证明费马小定理的逆定理，但似乎也无结果。
1819年，法国数学家沙路斯发现，虽然341整除2341-2，但341是合数，341＝11×31。这一反例表明费马小定理的逆定理不成立。1830年，一位匿名德国数学家指出更一般的构造反例的方法，他指出，只要能找到两个奇素数p和q，使它们的积pq能同时整除2p-1-1与2q-1-1，那么就可得到pq整除2pq-1-1。按此方法，人们发现除341外，还有561，645，1105，1389，1729，1905等也具有上述性质。于是，人们把能整除2n一2的合数n称为伪素数。1926年，普列特制成5000万以内的伪素数表，1938年他又推进上限到1亿，为此，有时伪素数亦被称为普列特数。
提出伪素数后自然就产生了类似素数的问题，并得到人们的研究。如伪素数有多少个？人们指出，伪素数有无穷多，1903年麦洛用一个构造性方法对此加以证明。他证明了，若n是奇伪素数，那么，n = 2n-1－1也是奇伪素数，我们已知有奇伪素数n0＝341，按此法就可以构造出无穷多的奇伪素数来。再如是否存在偶伪素数?1950年，美国数学家D．H．莱默尔找到了第一个偶伪素数161038，161038＝2×73×1103，73 |（2161038-2），1103 |（216038-2） 。1951年，荷兰的毕格尔又找到了一个偶伪素数，并证明了存在无穷多个偶伪素数。
后来人们针对费马小定理的一般情况，把伪素数概念一般化，就得出前面的定义。1904年，意大利数学家奇波拉给出一种构造a-伪素数的方法：
对于已知的整数a≥2，取p是任一奇素数，使p不能整除a（a2一1），则n=（a2p-1）/（a2-1）是a-伪素数。
他同时也证明了存在无穷多的一般伪素数。当然，在一般伪素数研究中，也有许多未解决的问题。例如，1952年杜帕克提出的，能否存在无穷多个伪素数，它们同时以2和3为底，或更一般些，能否存在无穷多个伪素数，它们同时以两个不同的整数a与b为底（a≥2，b≥2，且a与b不是同一个整数的幂）。
伪素数的一个用途是利用伪素数表来判定一个奇数n是否为素数，这是D．H．莱默尔提出来的：如果n不能整除2n-1－1，则据费马小定理知，n必为合数；如果n能整除2n-1－1，且n在伪素数表中，则n为合数，否则为素数。这种方法的关键就在于按伪素数表去掉伪素数，而这要求伪素数在能整除2n-1－1的数中相当少才行，这就是当n整除2n-1-1时，n是合数的比例问题。在前10亿个自然数中，共有50847534个素数，而只有以2为底的伪素数5597个，即在此范围内n整除2n-1－1产生合数的可能性只有0.011%。所以人们把整除2n-1-1的正整数n（＞1）称为殆素数。在10亿之内，n整除2n-1－1同时整除3n-1－1的合数n只有1272个，即此时产生合数的可能性只有0.0025%。
如果存在合数n，对任何a＞1，只要（a，n）＝1时，n能整除an-1-1，则n被称为卡迈克尔数。这种数是由美国数学家R．D．卡迈克尔于1912年提出来的。最小的卡迈克尔数为561，这种数在自然数中更少了，在10亿之内，只有646个。一个问题就是：卡迈克尔数是否有无穷多？

若n能整除2^(n-1)-1,并n是非偶数的合数，那么n就是伪素数。

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