初中几何-120°等腰三角形对角互补模型

典型例题1

在三角形ABC中，∠ABC=120°，AB=BC，D为三角形外一点，且∠ADC=60°。本题需要证明AD+CD=√3BD，以及BD平分∠ADC。

通过分析，已知AB=BC，且四边形内角和为360°，因此∠ABC+∠ADC=180°，即∠BAD+∠BCD=180°。利用截长补短方法或旋转法，我们可以证明AD+CD=√3BD，同时证明BD平分∠ADC。

方法讲解：

法一：截长补短（在DA上取点E，使AE=CD）

通过构建辅助线，利用∠BAD+∠BCD=180°，以及∠BAD+∠BAE=180°，得到∠BCD=∠BAE。通过证明△BCD≌△BAE（SAS），得到BD=BE，∠CBD=∠ABE。继而得到△DBE为顶角为120°的等腰三角形，证明AD+CD=√3BD。

法二：旋转（将△ABC绕点B顺时针旋转120°得到△BAE）

通过旋转得到△BCD≌△BAE，得到BD=BE，∠CBD=∠ABE，∠BDC=∠BEA，∠BCD=∠BAE。进一步得到∠DBE=120°，证明AD+CD=√3BD。

法三：对于问题（2）可直接利用四点共圆

由A、B、C、D四点共圆，且∠ADC=60°，利用圆周角性质，可直接得出∠ADB=∠BDC=30°。

典型例题2

在三角形ABC中，∠ABC=120°，AB=BC，D为三角形外一点，已知BD平分∠ADC，证明∠ADC=60°。

方法讲解：

法一：角平分线定理（过点B分别作AD、CD的垂线）

通过角平分线定理得到BE=BF，利用△ABF≌△CBE（HL），得到∠ABF=∠CBE，进而得到∠EBF=120°。结合四边形内角和为360°，证明∠ADC=60°。

法二：四点共圆

利用等弦所对的圆周角相等的性质，证明A、B、C、D四点共圆，进一步证明∠ADC=60°。

典型例题3

在三角形ABC中，∠ABC=120°，D为三角形外一点，若∠ADC=60°且BD平分∠ADC，证明AB=BC。

方法讲解：

法一：角平分线定理（过点B分别作AD、CD的垂线）

通过角平分线定理得到BE=BF，利用△ABF≌△CBE（ASA），证明AB=BC。

法二：四点共圆

通过等弦所对的圆周角相等的性质，证明A、B、C、D四点共圆，进而证明AB=BC。

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